안녕하세요.
이번에도 역시나 일반기계기사 필답형 기출문제를 가지고 왔습니다.
'축(shaft)'에 대한 문제이며 상당 비틀림모멘트, 지름, 최대처짐, 위험속도를 구하는 문제입니다. 필답형 문제라 조금 길 수도 있으니 필요하신 부분만 보고가셔도 될 듯 합니다.
[문제]
그림과 같이 20kW, 1250rpm으로 회전하는 축이 600N의 굽힘하중을 받는다. 축의 허용전단응력이 25MPa일 때, 다음을 구하시오. (단 축의 자중은 무시한다.)
(1) 상당 비틀림모멘트 (Te)
(2) 축의 지름 (d) (단, 키홈의 영향을 고려하여 1/0.75배를 한다.)
(3) 축의 최대처짐 (δ) (단, E = 210GPa)
(4) 제1차 위험속도 (Ncr)
[문제풀이]
소문제로 총 4개로 나누어져 있어서 1번부터 순서대로 풀어보겠습니다.
(1) 상당 비틀림모멘트 (Te)
ⓐ 상당 비틀림모멘트(Te)는 아래와 같이 정의됩니다. 비틀림 모멘트와 굽힘 모멘트를 함께 고려한다는 뜻이죠. (그리고 Me는 상당 굽힘모멘트이며 아래의 수식이 그 정의입니다.)
ⓑ 따라서, 상당 비틀림모멘트(Te)를 구하기 위해서는 굽힘 모멘트(M)와 비틀림 모멘트(T)를 구해야 합니다. 이때, 문제에서 알려준 조건인 '동력 20kW, 1250rpm'으로 비틀림모멘트를 구하고, 그림에서와 같이 축 중앙에 굽힘하중(600N)을 받는 것을 통해 굽힘모멘트(M)를 구할 수 있습니다.
이때, 2)번의 모멘트를 구하는 방법은 축 중앙에 집중하중(P)를 반으로 나눈 값에 거리(l/2)를 곱해주면 됩니다.
ⓒ 이제 위에서 정의했던 '상당 비틀림모멘트(Te)'를 구해줍니다. 이것이 소문제 (1)번의 정답입니다. 모멘트의 단위는 J(줄) = Nm 입니다.
(2) 축의 지름 (d) (단, 키홈의 영향을 고려하여 1/0.75배를 한다.)
축 지름(d)을 구하기 위해서는 우선, 키홈이 없는 상태라고 가정하여 지름을 구한 다음에, 위에서 제시한 조건인 '키홈의 영향을 고려하여 1/0.75배를 한다'를 적용시켜 주면 됩니다.
ⓐ 키홈이 없다고 가정하고 축 지름(d0)을 구합니다. (이때, 편의상 키홈이 없을 때 지름을 d0 기호로 표시하였습니다.)
* 참고) 비틀림모멘트 정의 : 
* 참고) 중실축의 극단면계수 : 
ⓑ 이제 소문제에서 주어진 조건인 '키홈의 영향을 고려하여 1/0.75배를 한다.'를 적용시켜 주면 키홈을 고려한 축 지름(d)을 구할 수 있습니다. 쉽게 말해서, 위에서 구한 지름에 4/3배를 해준다는 뜻입니다.
(3) 축의 최대처짐 (δ) (단, E = 210GPa)
이 부분은 암기가 바탕이 되어 있어야 합니다. 위 그림을 다시 보시면, 축 가운데에 하중이 작용하고 있기 때문에 아래와 같은 변위 공식(단순보의 중앙 집중하중의 경우 처짐 공식)을 적용하여 문제를 풀게 됩니다.
* 참고) 자중을 고려할 경우의 처짐 (= 분포하중의 경우 단순보 중앙 처짐) : 
(4) 제1차 위험속도 (Ncr)
여기서 '제1차' 위험속도란, Nc1을 묻는 것입니다. 즉, 축의 자중을 통해서 구한 위험속도는 N0(제0차 위험속도)이며, 첫번째 하중을 통해서 구해낸 위험속도는 N1(제1차 위험속도)이 됩니다. 던커레이 실험공식에서 자주 적용되는 데 이번 문제에서는 빠져있습니다. (문제에서 '축 자중의 영향은 무시'한다고 적혀 있습니다.)
* 참고) 축 자중을 고려한다고 하면, 위 공식의 델타(δ, 처짐)에 자중에 의한 처짐량을 대입해주면 됩니다.
* 참고) 던커레이 위험속도 실험식 : 
→ 즉, 물체 전체의 위험속도(Ncr)을 구하기 위해서 축 자중에 의한 위험속도(N0)와 첫번째 하중에 의한 위험속도(N1), 두번째 하중에 의한 위험속도(N2).... 를 위의 공식에 대입하여 구할 수 있습니다.
→ 즉, 물체 전체의 위험속도(Ncr)을 구하기 위해서 축 자중에 의한 위험속도(N0)와 첫번째 하중에 의한 위험속도(N1), 두번째 하중에 의한 위험속도(N2).... 를 위의 공식에 대입하여 구할 수 있습니다.
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